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何谓虚数?字面意义上,便是指虚幻的不存在的数。
举个例子来讲。
像是x2+1=0这个二次方程式,它虽然结构简单,可其式子中的x,在整个实数范围内都找不到任何解。
若是一定要找到x的解,那么就需要前往虚数领域中去寻索。
所以,该如何做呢?很简单。
首先想象一下,在一片无垠无际的虚无间,存在着一条朝左右两侧无限延伸没有任何尽头的直线。
然后在这条直线上找到,或者说选择一个点,定义为0,再将其定义为原点。
随后,再在这一原点(0)的右侧,定义一定距离外的某一个点,为1。
接着,在1的右侧走过一段与1和0之间完全相等的距离。
停下来,再定义一个点,为2。
以此,无限类推下去。
便可不断推出3、4、5、6……直到无穷。
那么这一条直线上所有与0和1之间,与1和2之间,与2和3之间距离相等的点,就是整数。
而在0和1之间,在1和2之间,在2和3之间的所有点,便是分数与无理数。
最后,在原点(0)右侧的所有点,无论无理数、分数还是整数,就都尽皆属于正数。
至于在原点(0)左侧那所有的,与原点(0)右侧所有的点都完美对称的点,则都是负数。
于是,在这条无限长直线之上的数字,便都为实数。
任何一个实数,若想从一个点到达另一个点,都必须要经过两点之间的所有整数、分数及无理数。
譬如从3到达4,就得经过30001,经过31111,经过3……,经过√10,经过33333,经过……总之各种各样共计不可数无穷个数。
由此便不难发现,在这一条代表着所有实数的悠长直线上,除却原点(0)之外的任何一个点的平方(2),其结果都会且只会出现在这一条直线原点(0)的右侧,也就是正数范畴里。
譬如正数5的平方(52),就是25,依然属于正数,在原点(0)的右侧。
再譬如负数-5的平方(-52),也一样是25,一样属于正数,一样在原点(0)的右侧。
5与-5这一正一负两个截然相反的数,在经历了平方相乘运算过程后,却得到了同样的数,并且同样是正数。
很神奇吗?当然不神奇啊,正正得正、负负得正、正负得负,这本就是初中一年级便会教的知识点。
那么就可以想像一下,有没有可能存在着这样一个数,它的平方(2)会出现在原点(0)的左侧,即负数范畴内呢?若换一种表达方式,便是一个负数,譬如-1,其在存在有「正正得正、负负得正、正负得负」这些数学规则的前提下,可不可以拥有一个平方根,或者说偶数次方根呢?答案是:可以。
这一运算,如果用数学语言来表达,便是:-1=i2。
简单来讲,这一数式中的i,就是虚数元。
如果有某一数字中含有i,那么这一数字便是虚数。
可虚数概念体现到整个数学层面,乃至真实世界里,又会是怎样的呢?首先是数学层面。
这时候,便要进行二次想象了。
想象,在无际无垠的绝对空白中,那一条代表着所有实数的悠长直线——实数轴,依然悬峙着。
现在呢,在这一条无边悠长的实数轴中心原点(0)处,作一条90°的垂线。
让其贯穿原点,并沿着上下两个方向,仿若实数轴那样不断延伸下去(上去),直至无穷遥远。
那么这一条垂直于实数轴的纵轴,便是虚数轴。
一切不存在于实数轴上的数,像是x2+1=0中的x,以及-1=i2中的i,以及所有负数的偶次方根,就全数都存在于这一条虚数轴上。
因此这一条虚数轴,即是广义上的虚数领域。
某种意义上来说,实数域与虚数域便存在于不同的「相位」中。
两者之间似乎无法产生关联,但互相又似乎补全以及‘支撑’了对方。
而由这一条纵向虚数轴线与横向实数轴线,所构成的这片上下左右各方各向都尽皆无穷广大的平面坐标系,便是复平面。
存在于这片复平面里的所有数,就是复数。
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